Ato VII - Equações de Lorenz

Edward Lorenz continuando em sua pesquisa dos sistemas dinâmicos, elegeu três equações que acabaram por ficar conhecidas como Equações de Lorenz para representar graficamente o comportamento dinâmico através de computadores.

• Equações de Lorenz:
  
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       Lorenz continuou observando os efeitos caóticos, notou que variações muito pequenas aleatórias poderiam gerar um efeito dominó que elevava o grau de incerteza em eventos futuros, realimentando os graus de aleatoriedade.

       Desenvolveu teorias que demonstravam que a partir de variações mínimas haviam acelerações nas precipitações de dados em determinadas direções que mudavam completamente o resultado de uma determinada experiência.

        Em função de suas constatações o meteorologista chegou à conclusão que as previsões de fenômenos climáticos só poderiam adquirir certo grau de precisão utilizando equações matemáticas que levassem em conta o alto grau de incerteza nos eventos.

       Fatos podem ser alterados a partir das mais simples reações.

Ato VI - Exemplos de Caos

Um exemplo simples de caos pode ser visto no sistema matemático dado pelo mapa de deslocamento: . Onde o próximo valor do estado do sistema, representado por x_{i + 1} é calculado a partir do estado atual, x_i, tomando a parte menor do que a dezena de x_i multiplicado por 10. Suponha que o sistema está em algum estado x₀, representado por um número irracional, por exemplo, pi: 3.141592... Usando a equação do mapa, obtemos x₁ = 1.415926..., x₂ = 4.159265..., e assim por diante. Como o número é irracional, obteremos uma sequência de números aparentemente aleatórios, que nunca se repete, apesar de ser dada por uma lei simples. Imagine agora que o sistema tivesse iniciado em um estado extremamente próximo de pi, mas não exatamente idêntico, p. ex pi+0.001e. Embora a diferença inicial entre os estados seja pequena, após apenas três iterações do mapa a diferença entre os estados será tão grande quanto o valor de x₃.

As pequenas diferenças no estado inicial podem ser devidas a inevitáveis erros de medida, ou às mais desprezíveis interações entre o sistema observado e o universo. Portanto, para sistemas caóticos, fica impossível fazer uma previsão sobre o estado do sistema após um tempo relativamente curto.

Estatisticamente isto ocorre porque pequenas alterações na alimentação de dados em sistemas de cálculo de previsões podem provocar mudanças drásticas inclusive rupturas a longo prazo. Pois em função de um crescimento inflacionário de realimentação de dados, que realimentam por conseqüência dados futuros, estes podem realimentar o sistema com respostas que levam ao crescimento das alterações numa espiral caótica (inflacionária) que mudará toda a previsão estatística daquele sistema. Ficando assim completamente acima das margens de erro aceitáveis.

Em função deste efeito do caos, a previsibilidade comportamental dos sistemas em geral, sejam climáticos de uma determinada região, ou movimentos econômicos à exemplo das movimentações das bolsas de valores, ou populações de insetos de um determinado ecossistema, tem uma margem de erro bastante grande, fazendo com que o sistema pareça aleatório.

Ato V - Henri Poincaré

      Henri Poincaré em 1880 aproximadamente, pesquisou os problemas relacionados à impossibilidade de resolução das equações diferenciais não lineares, na busca das leis da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos. Seu objetivo era descrever o que ocorreria matematicamente quando da introdução de uma massa gravitacional complementar num sistema duplo, isto é, passando a análise de dois para três corpos gravitacionais interagindo mutuamente. Verificou que numa análise mais ampla, não se atendo a detalhes quantitativos e fazendo comparações qualitativas, isto é, enxergando o sistema como um todo. Acabou descobrindo que os sistemas de massas gravitacionais triplas evoluíam sempre para formas cujo equilíbrio era irregular. As órbitas mútuas tendiam a não ser periódicas, tornavam-se complexas e irregulares.

      Poincaré descobriu que ao invés de existirem órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou um sistema equilibrado e harmônico, o que ocorriam eram sistemas verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevaleceria não era a ordem natural, e sim o caos, a confusão, pois os movimentos se tornavam aleatórios.

      Os resultados observados que levavam à confusão e à desarmonia, não condiziam com a harmonia que ocorria na mecânica clássica. Poincaré neste seu trabalho acabou por descobrir uma possibilidade da existência de um sistema desordenado, com variáveis ao acaso. Na época não houve um interesse prático na sua teoria de órbitas irregulares, sendo muitas vezes considerada a teoria uma aberração matemática.                

      Continuaram havendo alguns estudos esparsos por outros matemáticos, porém como curiosidade sobre os Sistemas dinâmicos não-lineares.

Ato IV - Galileu, Newton e Laplace

     Galileu Galilei introduziu algumas das bases da metodologia científica presas à simplicidade da obtenção de resultados. Segundo aquela metodologia, a ciência continuou gradualmente a sua expansão em direção à determinação das realidades físicas.

     Com Isaac Newton, surgiram as leis que regem a Mecânica determinista Clássica e a determinação de que a posição espacial de duas massas gravitacionais poderia ser prevista. Havendo portanto uma explicação plausível da órbita terrestre em relação ao Sol.

Portanto, o comportamento de três corpos gravitacionais poderia ser perfeitamente previsível, apesar do trabalho aumentado em função de mais dados inseridos para a execução dos cálculos necessários à determinação de posição.

     Porém, ao se acrescentarem mais corpos massivos para as determinações de posições, começaram a ocorrer certos desvios imprevisíveis. Newton traduziu estes desvios ou efeitos através de equações diferenciais que mostravam que o sistema em sua evolução tendia para a formação de um sistema de equações diferenciais não-lineares.

Ato III- Atratores e fractais

     Os fractais são figuras da geometria não-Euclidiana. A partir dos estados de um determinado sistema onde existem variáveis tais como massa, pressão, temperatura, velocidade, posição, etc, estes podem ser representados por coordenadas, num determinado espaço cuja configuração pode ser considerada multidimensional, de um ponto cujas coordenadas são determinadas pelas variáveis. Na física clássica podemos descrever o comportamento de um sistema dinâmico geometricamente como o movimento de um atrator. Já nos sistemas considerados caóticos, os atratores são denominados atratores estranhos, isto ocorre pelo elevado grau de incerteza dos resultados destes sistemas.

     Os atratores estranhos devem ter estruturas detalhadas em todas as escalas de magnificação. Em função disto foi desenvolvido um modelo conceitual chamado fractal, que tem uma forma geométrica complexa e exibe uma formação estrutural que tem uma propriedade chamada de auto-similaridade. Estes sistemas complexos tornaram possível o progresso no processamento de dados gráfico.